Exercício de Cálculo - Derivadas: Taxas Relacionadas
Sua Pergunta:
Pingüins Imperadores se reproduzem e protegem seus filhos pequenos sob o rigoroso inverno da Antártica. Quando a fêmea põe o ovo, o macho o mantém aconchegado entre seus pés, evitando o contacto com a superfície e a atmosfera. O período de incubação médio é de 110 dias, durante o qual o pai não pode se alimentar. Se o pingüim se mantiver isolado, perderá muita energia irradiada para o meio ambiente e não conseguirá manter o ovo aquecido pelo período necessário. A estratégia da espécie é se manter agrupada em bandos de milhares de pingüins bem juntos, diminuindo significativamente as perdas de energia e viabilizando a geração seguinte. Modele um pingüim como um cilindro de raio r = 30 cm e altura h = 100 cm, e a comunidade agrupada como outro cilindro de mesma altura e raio R = r.sqrt(n), onde n é o número de pingüins agrupados. Determine, em função de n, o quanto de energia um pingüim economiza durante o período de incubação ao se manter em grupo quando comparado ao caso onde ele encontra-se isolado.
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Respostas:
Uma Resposta a “Cálculo – Derivadas: Taxas Relacionadas”
Considerando que a taxa de perda de energia seja proporcional a area,
temos que no caso de 1 pinguim a area é
100 . 2 pi r .
No caso de n pinguins, a area é
100 . 2 pi r sqrt(n)
Mas estamos considerando a energia de n pinguins. Entao a perda por
pinguim é obtida dividindo por n:
100. 2 pi r sqrt (n) / n = 100 . 2 pi / sqrt(n)
Portanto, agrupados, cada pinguim perde uma energia menor por um fator de
sqrt(n) em relação ao caso de estar sozinho.
(Nao considerei a perda por cima e por baixo do grupo, porque a area da base
do grupo é pi r^2 n , que dividindo por n dá a area da base de 1 pinguim exatamente,
entao aqui nao há vantagem)