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Exercício de Medida de Raio a partir de triângulo inscrito

por Rodrigo (Mackenzie) Difícil Thursday, November 25th, 2010

Exercício:

Alguém consegue encontrar outra maneira mais prática de resolver? Abaixo apersento minha resolução, agora, o exercício:

Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio r. Se, num sistema de coordendas cartesianas, A = (1;3), B = (5;7) e C = (5;1), então r é igual a…

Informações Adicionais:

Resposta: r = raiz quadrada de 10

Gostaria de saber se há outra maneira de resolver, pois o jeito que encontrei foi muito trabalhoso e demorado. Se alguém souber, por favor, explique. Obrigado!

Minha maneira de resolução:

I. calculei a distância entre os pontos, ou seja, os lados AB, BC e CA do triângulo através da fórmula de distância entre dois pontos (resultando em 4 raiz de 2; 6 e 2 raiz de 5, respectivamente)

II. Como precisava saber o R, me lembrei de que a fórmula de área para um triângulo circunscrito pode ser Área = (a . b . c) / 4 raio. Mas, para poder isolar o raio, precisava de um valor para a área do triângulo.

III. Como só tinha o valor dos lados do triângulo, calculei a área através da looonga fórmula Área = raiz de (semiperímetro . (semiper -a) . (semiper – b) . (semiper – c)), o que resultou em Área = 12

IV. Substituindo agora o valor da área na fórmula mencionada na etapa II, cheguei a Raio = raiz de 10




Respostas:

Uma Resposta a “Medida de Raio a partir de triângulo inscrito”
     Add karma Subtract karma  +0
  1. Dren diz:

    Nesta solução, primeiro vou determinar o centro ‘P’ da circunferência e depois vou calcular a distância entre ‘P’ e qualquer um dos vértices (A, B ou C) cujo valor é o do próprio raio ‘r’.
     
    Seja P(x,y) o centro da circunferência.
                       r = d(A,P) = d(B,P) = d(C,P)
    Logo, para
                                      d(A,P) = d(B,P)
     
       Raiz [(x - 1)^2 + (y - 3)^2] = Raiz [(x - 5)^2 + (y - 7)^2]
                 (x – 1)^2 + (y – 3)^2 = (x – 5)^2 + (y – 7)^2
       x^2 – 2x + 1 + y^2 – 6y + 9 = x^2 – 10x + 25 + y^2 – 14y + 49
                                    8x + 8y = 64
                                       x + y = 8       (1)
     
     
     
    e para
                                        d(B,P) = d(C,P)
         Raiz [(x - 5)^2 + (y - 7)^2] = Raiz [(x - 5)^2 + (y - 1)^2]
                 (x – 5)^2 + (y – 7)^2 = (x – 5)^2 + (y – 1)^2
    x^2 – 10x + 25 + y^2 – 14y + 49 = x^2 – 10x + 25 + y^2 – 2y + 1
                                         12y = 48
                                            y = 4         (2)
     
     
    (2) em (1)
                                x + 4 = 8        —>      x = 4      
     
    Portanto, a circunferência tem centro  P(4,4).
     
    Logo, o raio é
                                 r = d(A,P)
                                   = Raiz [(x - 1)^2 + (y - 3)^2]
                                   = Raiz [(4 - 1)^2 + (4 - 3)^2]
                                   = Raiz (3^2 + 1^2)
                                   = Raiz (10)

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